Relación C:A Para una Estructura Cristalina HCP ~ Universidad Católica Andrés Bello

Relación C:A Para una Estructura Cristalina HCP

Asumiendo que los átomos son esferas rígidas, una celda unitaria de la estructura cristalina compacta se ve como se muestra en la figura número (a). Si aislamos la celda uniendo los centros de los átomos en las tapas superior e inferior para tomar dos hexágonos , y luego se trazan líneas verticales para unir estos dos hexágonos, se obtiene la figura (b). Finalmente para que sea más sencillo ubicarse espacialmente en la estrucutra, sólo se tienen que dibujar los centros de los átomos. Los lados del hexágono son llamados "a" y la altura recibe el nombre de "c".

Figura 1

Si se secciona la estructura cristalina hexagonal compacta y solo se toma un tercio de ella, se obtiene la figura 1. Siendo J y L dos átomos de los lados del hexágono y K el átomo central, aquí se puede trazar un triángulo equilátero si se unen los centros de dichos átomos.

Este triángulo en específico es de suma importancia porque si se bisecciona dos de sus lados , la intersección de esas bisecciones proporcionan el centro del átomo M que se encuentra ubicada en la capa triangular superior

Figura 2

El sistema J-K-L-M forman un tetraedo (véase en la figura 2). Si se encuentra su altura, se encontrará la mitad de la altura total del prisma hexagonal y por consecuente la altura C en el Hexagonal Compacto

Para lograr encontrar dicha relación, se parte de la premisa de biseccionar dos veces el triángulo equilatero producido por los átomos J-K-L. La intersección de dichas bisecciones dará el punto H

Figura 3

El punto H y el punto M que se encuentran en la capa intermedia del prisma forman parte de la misma línea vertical. Luego, el centro del átomo M , que se encuentra en la punta superior del tetraedro, está justo a la mitad de la altura que separa las caras superior e inferior del prisma hexagonal. Lo que quiere decir

Asímismo, se tiene que considerar que los átomos J, K y M son tangentes a lo largo de las líneas que los unen, lo cual se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera

Siendo R el radio de los átomos

Figura 4

Ahora, como se observa en la figura 4, el triángulo J-H-M es un triangulo rectángulo en donde si se usa el teorema de pitágoras se puede establecer una relación inicial entre la altura del prisma "c" y los lados del hexágono "a" , siendo esta relación :

Y como JM representa un lado del hexágono y MH se relaciona con la mitad de la altura de MH

Seguidamente, si se enfoca en el triángulo J-K-L. Se sabe que dicho triángulo es un triángulo equilatero , por lo tanto todos sus ángulos son de 60°. Si se toma una bisección que parte el lado JK en dos segmentos iguales, se tendrá un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura 5